Logarithmen

Logarithmen zählen sicher nicht zu beliebtesten Themen und dennoch können Sie dein Verständnis im Umgang mit großen Zahlen deutlich verbessern. Daher schauen wir und hier mal genauer an, was Logarithmen überhaupt sind und wo man sie auch in der Praxis sehr gut nutzen kann.

1. Kurzer Exkurs zu Potenzen

Potenzen sind nichts anderes als Hochzahlen. 2 hoch 3, also 23 ist ein einfaches Beispiel eine Potenz (siehe auch Abbildung 1 dazu). 2 ist die Basis und 3 der Exponent. Der Exponent sagt uns einfach, wie oft die Basis 2 mit sich selbst multipliziert (mal genommen) werden soll. Bei 23 wird die 2 also 3 mal mit sich selbst multipliziert und es ergibt sich: 23 = 2 * 2 * 2 = 8.

2. Was ist ein Logarithmus?

Der Logarithmus wird immer dann gebraucht, wenn die unbekannte Größe im Exponenten einer Gleichung liegt. Für den Fall, dass der Exponent bekannt ist, aber die Basis gesucht wird, verwendet man das Wurzelziehen.

Das Wort Logarithmus setzt sich zusammen aus den griechischen Wörtern „logos“ für Verständnis und „arithmos“ für Zahl. Nicht zu verwechseln mit Rhythmus, das ist etwas völlig anderes.

Lass uns direkt ein Beispiel anschauen, in dem sich zeigt, wie man überhaupt logarithmiert. Sicher kennst du mathematische Gleichungen mit mehreren Größen von denen einer unbekannt ist. Diese Unbekannte soll dann mathematisch errechnet werden.

Da Mathematiker immer möglichst schnell und ohne viel Aufwand rechnen wollen, machen sie sich einen „Trick“ zunutze. Denn in der Mathematik kann man durch eine einfache Umkehrung der Rechenoperatoren (z.B. + oder -) die unbekannte Größe berechnen.

Beispiel:

X + 2 = 5

Wenn wir jetzt einfach 2 von 5 abziehen, also subtrahieren, erhalten wir die gesuchte Größe x folgendermaßen:

X + 2 = 5   | - 2

X = 5 – 2

X = 3

Soweit so gut, doch wo kommt jetzt der Logarithmus ins Spiel? Nun, der Logarithmus wird dann interessant, wenn in den Gleichungen eine Hochzahl, also ein Exponent auftaucht. Sobald wir nämlich einen Exponenten in der Gleichung haben, können wir nicht immer die gleiche Umkehrung nutzen.

So ist 3 * 5 das gleiche wie 5 * 3, aber 3⁵ ist nicht das gleiche wie 5³. 3⁵ = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 = 243 und 5³ = 5 * 5 * 5 = 125.

Lass und dazu zuerst ein Beispiel anschauen, welches du wahrscheinlich schon oft gesehen hast.

X³ = 9

Um jetzt x zu erhalten können wir natürlich einfach die Umkehrung von Exponentieren nutzen – das Wurzelziehen. Das sieht dann so aus:

X³ = 9   | √

X = ³√(9)

X = 2

Zur Lösung dieser Gleichung haben wir noch keinen Logarithmus gebraucht, weil der Exponent 3 vorgegenen war und nach der Basis x gefragt wurde.

Doch wie können wir folgende Gleichung lösen?

5^x = 125

Hier könntest du natürlich durch Überlegen auf die Lösung kommen. Die Frage ist ja, wie oft ich 5 mit sich selbst multiplizieren muss, um auf 125 zu kommen. So könntet du folgendes einfach im Kopf kurz durchgehen:

5 * 5 = 25

5 * 5 * 5 = 125

Ich musste also 3 mal die 5 mit sich selbst multiplizieren bis ich die Lösung 125 erhalten habe. Das heißt dann, dass x = 3 sein muss.

Das lässt sich ja allles zur Not noch relativ schmerzfrei berechen, aber was ist, wenn die Zahlen nicht mehr so schön gerade sind. Nehmen wir folgendes Beispiel:

4^x = 19

Um jetzt x ausrechnen zu können, kommt der Logarithmus ins Spiel. Es ist wie beim Wurzelziehen, einfach eine Umkehrung, aber diesmal wird halt der Exponent gesucht. Das schreibt sicht dann wiefolgt:

4^x = 19   | log

X = log₄(19)

X= 2,12.

Mit Worten sagt man: Der Logarithmus von 19 zur Basis 4 ist gleich 2,12. Warum man zuerst die Zahl 19 nennt und dann die Basis 4, obwohl in der Gleichung die Basis 4 zuerst kommt, kann ich dir leider auch nicht sagen.

3. Was ist ein dekadischer Logarithmus?

Beim dekadischen Logarithmus wird immer von der Basis 10 ausgegangen. Wenn wir zum Beispiel ausrechnen, was der dekadische Logarithmus von 10000 ist, können wir wie folgt machen:

Log (10000) = x

Da beim Logarithmus immer der Exponent gesucht wird und wir wissen, dass die Basis 10 ist, weil es um den dekadischen Logarithmus geht, können wir schreiben:

10^x = 10000  

Jetzt rechnen wir den Logarithmus von 10000 mit log (10000) aus und erhalten dadurch x

X = log₁₀ (10000)

X = 4

Im Prinzip ist der dekadische Logarithmus eine vereinfachte Form des Logarithmus, da die Basis immer 10 ist. Da er so häufig in der Mathematik Verwendung findet, wird die Basis 10 meist gar nicht mehr dazu geschrieben. Wenn du also nur das Wort „log“ siehst, kannst du davon ausgehen, dass log₁₀ gemeint ist.

Ein Logarithmus mit der Basis 10 hat auch ganz praktische Gründe. Wenn du den Exponenten x bei 10x immer um einen Schritt erhöhst, so ist das Ergebnis mit jedem Schritt um das Zehnfache erhöht. Also 10¹ = 10

10² = 100

10³ = 1000

10⁴ = 10000

Das wird später noch anschaulicher, wenn wir uns die logarithmische Darstellung bzw. Skala anschauen.

4. Was ist ein natürlicher Logarithmus (logarithmus naturalis) ?

Der logarithmus naturalis, auch einfach als natürlicher Logarithmus bezeichtnet, hat als Basis immer „e“. Dabei ist „e“ die sogenannte „Euler’sche Zahl“ und beträgt ca. 2,718. Was genau das bedeutet ist vorerst nicht so wichtig. Du kannst dir an dieser Stelle einfach merken, dass es eine Konstante ist, die häufig in der Mathematik bei Funktionen verwendet wird.

Wenn vom natürlichen Logarithmus die Rede ist, wird immer „ln“ also die Kurform von logarithmus naturalis geschriebenn. Das sieht dann zum Beispiel so aus:

e^x = 20

Wie groß ist x?

Wir wissen, dass bei e als Basis der natürliche Logarithmus zum Einsatz kommt. Daher können wir auch schreiben:

x = ln (20)

x = 2,995

Zur Kontrolle können wir jetzt einfach 2,781 (e) hoch 2,995 rechnen und sollten dann auf ca. 20 kommen.

Was ist ein binärer Logarithmus (logarithmus dualis)?

Der binäre Logarithmus, auch logarithmus dualis (ld) genannt hat als Basis immer die 2. Er kommt vor allem in der Informatik und im Umgang mit elektrischen Geräten zum Einsatz. Der Grund ist, da elektrische Geräte im Prinzip nur 2 Arten von Zuständen verstehen: an/ aus bzw. 0/1.

Ein Beispiel kennst du vielleicht von der Speichergröße von USB Sticks. So gibt es beispielsweise Sticks mit 16 GB, 32 GB, 64 GB, 128GB usw. Jeder dieser Zahlen kann auch durch den binären Logarithmus ausgedrückt werden.

Ein Beispiel für die Zahl 32:

2^x = 32

X = ld (32)

X = 5